Lingkaran merupakan himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik. Koordinat dari titik-titik tersebut ditentukan lewat susunan persamaan lingkaran. Ini ditentukan berdasarkan panjang jari-jari dan koordinat titik pusat lingkaran.
Pada gambar di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa OP = OQ. Titik O disebut titik pusat lingkaran, sementara OP dan OQ adalah jari-jari lingkaran. Mari kita perhatikan contoh berikut ini.
P(a,b) adalah titik pusat lingkaran dan panjang jari-jarinya adalah r. Jika Q(x,y) merupakan titik yang terletak pada lingkaran, berdasarkan definisi lingkaran dapat disimpulkan bahwa PQ = r. Dari sini, kita dapat merumuskan persamaan lingkaran dengan P(a,b) sebagai titik pusat dan r sebagai jari-jari.
√(x – a)2 + (y – b)2 = r
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Mari kita kerjakan contoh soal di bawah ini.
Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya berada pada titik (-5,4) yang panjang jari-jarinya adalah 7!
Dari pernyataan tersebut, kita mengetahui bahwa a = -5, b = 4, dan r = 7. Jika kita masukkan ke dalam persamaan, kita akan mendapatkan jawaban berikut.
(x – ( -5))2 + (y – 4)2 = 72
(x + 5)2 + (y – 4)2 = 49
Bagaimana dengan lingkaran yang titik pusat koordinatnya berada di P(0,0)? Persamaan lingkarannya adalah sebagai berikut.
Bentuk umum dari persamaan lingkaran dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk berikut.
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 , atau
X2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 , atau
X2 + y2 + Px + Qy + S = 0 , dengan P = -2a, Q = -2b, dan S = a2 + b2 – r2
Syarat Menentukan Persamaan Lingkaran
Persamaan lingkaran memuat tiga variabel sembarang. Persamaan lingkaran dapat ditentukan jika nilai dari ketiga variabel tersebut diketahui. Untuk mengetahui nilai dari tiga variabel tersebut, salah satu syarat berikut harus dipenuhi:
- Koordinat tiga titik yang terletak pada lingkaran diketahui.
- Koordinat dua titik pada lingkaran yang dihubungkan oleh diameter lingkaran diketahui.
- Koordinat titik pusat dan koordinat titik pada lingkaran diketahui.
