Matematika mendapatkan stigma menakutkan bagi para siswa, padahal semakin kalian mendalami dan sering berlatih ilmu matematika, akan semakin menyenangkan dan menyukainya. Nah, sekarang kita akan mengajak kalian untuk mengetahui lebih jauh tentang induksi matematika. Apa itu induksi matematika dan apa kegunaannya?
Induksi matematika sendiri dapat diartikan sebagai salah satu teknik pembuktian dalam matematika. Ini digunakan untuk membuktikan pernyataan khusus yang mengandung bilangan asli. Pembuktian menggunakan cara ini menghasilkan kesimpulan yang bersifat umum.
Pengantar Induksi Matematika
Dalam pembuktian menggunakan induksi matematika diperoleh kesimpulan yang bersifat umum. Terdapat dua jenis penalaran yang digunakan untuk memperoleh kesimpulan yaitu penalaran deduktif dan penalaran induktif.
- Penalaran deduktif adalah penalaran yang dimulai dari pernyataan bersifat umum ke pernyataan khusus. Pendekatan ini disebut sebagai pendekatan “umum-khusus” karena penalaran dimulai dari hal yang umum kemudian menyimpulkan hal khusus. Contohnya; semua apel adalah buah, semua buah tumbuh di pohon, jadi semua apel tumbuh di pohon.
- Penalaran Induktif adalah penalaran yang dimulai dari pernyataan khusus ke pernyataan umum. Pendekatan ini disebut sebagai pendekatan “khusus-umum” karena pernyataan disusun dari hal-hal khusus untuk mendapatkan kesimpulan yang berlaku umum. Contohnya; seorang penumpang bus mengamati bahwa setiap pengemudi bus menginjak pedal rem, seluruh penumpang dalam bus akan terdorong ke depan.
(Baca juga: Transformasi dalam Matematika, Seperti Apa?)
Disamping itu, metode induksi matematika dapat digunakan untuk membuktikan kebenaran hipotesis bersifat khusus sehingga berlaku umum. Jadi cara ini digunakan dalam pembuktian dalam penalaran induktif.
Penerapan Induksi Matematika
Penerapan induksi matematika terdapat pada berbagai cabang ilmu matematika. Hipotesis yang disusun dalam matematika perlu dibuktikan agar dapat berlaku umum. Sebuah hipotesis dapat berlaku umum jika terbukti benar untuk semua nilai bilangan yang digunakan. Berikut merupakan contoh pernyataan yang dapat dibuktikan dengan cara ini.
Buktikan bahwa jumlah dari deret bilangan ganjil ke –n adalah n2. Dimana n bilangan asli.
Penyelesaian : Pn= 1+3+5+7+…..+ (2n – 1) = n2 berlaku untuk setiap n € A
Langkah dasar : untuk n = 1, diperoleh P1 = 1 = 12 adalah benar.
Langkah induksi : misalkan untuk n = k, Pk bernilai benar. Akan ditunjukan bahwa untuk n = k+1, P(k+1) = (k+1)2 bernilai benar.
Perhatikan langkah berikut :
Untuk n = k, maka Pk = 1+3+5+7+…+ (2k – 1) = k2 bernilai benar.
Dengan menambahkan [2(k+1)-1] pada kedua ruas, maka
P(k+1) = 1+2+3+…(2k + 1) + [2(k+1)-1] = k2 + [2(k+1) – 1]
= k2 + 2k + 2 – 1
= k2 + 2k +1
= (k+1)2 (terbukti)
Prinsip Induksi Matematika
Misalkan P(n) adalah pernyataan yang memuat bilangan asli. Pernyataan P(n) dapat dibuktikan benar untuk semua bilangan asli n, dengan mengikuti langkah-langkah induksi matematika.
Berikut merupakan langkah-langkah dalam pembuktian menggunakan cara ini:
- Buktikan bahwa P(1) benar atau P(n) berlaku untuk n = 1.
- Andaikan P (k) benar maka tunjukkan P (k + 1) benar untuk setiap bilangan bulat positif k.
Jika langkah (1) dan (2) benar maka dapat disimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n. Langkah 1 disebut langkah basis, sedangkan langkah 2 disebut langkah induksi.
