Matematika bagi sebagian orang dianggap sebagai pelajaran yang membuat pusing dan termasuk kategori mata pelajaran yang tidak terlalu banyak peminatnya. Anggapan tersebut bisa jadi dikarenakan pengalaman yang tidak menyenangkan ketika belajar menghitung dan memecahkan rumus-rumus. Seperti kita tahu, rumus dalam matematika cukup banyak, salah satunya mengenai akar-akar persamaan polinomial.
Dalam materi sebelumnya telah dijelaskan bahwa sistem persamaan berpangkat lebih dari 2 disebut dengan polinomial atau suku banyak. Polinomial sendiri merupakan pernyataan aljabar yang berbentuk. Bentuk umum dari ini adalah sebagai berikut :
ɑnxn + ɑn-1xn-1 + ɑn-2xn-2 + … + ɑ1x1 + ɑ0 dengan ɑn ≠ 0
keterangan :
x : variable
n : derajat
an, an-1, an-2, …, a1 : koefisien
a0 : konstanta
anxn : suku utama
Pada dasarnya, akar-akar persamaan polinomial berhubungan dengan faktor polinomial. Bahkan, definisi akar persamaan polinomial juga hampir sama dengan faktor polinomial.
Baca juga: Tips Belajar Matematika Lebih Efektif
Misal diketahui polinomial ƒ (x)
ƒ (ɑ) = 0 jika dan hanya jika (x = ɑ) adalah akar dari ƒ (x) = 0
Contoh Soal :
Diketahui x = 1 adalah salah satu akar dari polinomial 2x2 + 4x + ɑ = 0. Tentukanlah :
- Nilai ɑ
- Akar-akar lainnya
Penyelesaian :
- Jika x = 1 adalah salah satu akar dari 2×2 + 4x + ɑ = 0, maka
2x2 + 4x + ɑ = 0
→ 2(1)2 + 4(1) + ɑ = 0
→ 2 + 4 + ɑ = 0
→ ɑ = -4 -2 = -6
- Polinomialnya menjadi 2×2 + 4x – 6 = 0. Pemfaktoran 2×2 + 4x – 6 = 0 menjadi,
→ 2×2 + 4x – 6 = 0 = 2 (x2 + 2x – 3) = 2 (x + 3) (x – 1)
Untuk x – 3 = 0 maka x = 3
Jadi, akar lainnya adalah 3
Sifat-sifat Akar Persamaan Polinomial
Misalkan diketahui polinomial ƒ (x) = ɑnxn + ɑn-1xn-1 + … + ɑ2×2 + a1x + a0 = 0. Hubungan antara akar-akar persamaan polinomial tersebut dengan koefisien-koefisien dapat diumumkan sebagai berikut :
Contoh Soal :
Misalkan diketahui akar-akar polinomial 4x4 + 2x3 – x2 + 6x – 4 = 0 adalah x1, x2, x3 dan x4. Maka, tentukanlah nilai dari :
- x1 + x2 + x3 + x4
- x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4
- x1.x2.x3.x4
Penyelesaian :