Memahami Teorema Sisa, Apa Itu?

Dalam mempelajari materi suku banyak atau polinomial pada mata pelajaran matematika, maka ada sub bab yang tidak bisa kita tinggalkan salah satunya adalah teorema sisa. Dimana, pada teorema sisa kita dapat mengetahui sisa hasil bagi secara langsung tanpa melakukan pembagian terlebih dahulu.

Sebelumnya pada pembagian polinomial telah dijelaskan bahwa jika polinomial P(x) dibagi polinomial Q(x), maka menghasilkan polinomial H(x) dan sisanya S(x). bentuk polinomial sisa pembagian dapat ditentukan berdasarkan bentuk polinomial pembaginya.  Berikut akan dibahas teorema-teorema sisa pembagian tersebut :

Pembagian oleh (x-h)

Teorema, jika polinomial f (x) dibagi dengan (x – h) maka sisa pembagiannya S(h) = f(h).

Bukti :

f(x) = (x – h)H(x) + S(x)

f(h) = (h – h)H(h) + S(h)

f(h) = S(h)         (terbukti)

contoh :

Tentukan sisa pembagian dari :

1. (x⁴– 4x²) dibagi (x – 2)
2. (x⁴ – 2x³ + 3x – 2) dibagi (x + 2)

(Baca juga: Sifat-sifat Fungsi Dalam Matematika)

Penyelesaian :

1. f (x) = x⁴ – 4x² dibagi (x – 2)

sesuai teorema sisa, maka sisa pembagiannya adalah :

f (2) = 2⁴ – 4(2²)

f (2) = 16 – 16 = 0         (habis dibagi)

2. f (x) = x⁴ – 2x³ – 2 dibagi (x+2)

sesuai teorema sisa, maka sisa pembagiannya adalah :

f (-2) = (-2)⁴ – 2(-2)³ + 3(-2) – 2

f (-2) = 16 + 16 – 6 – 2 = 24

Pembagian Oleh (ax – b)

Jika polinomial f(x) dibagi dengan (ax – b) maka sisa pembagiannya

Bukti :

untuk maka

        (terbukti)

Contoh Soal :

Tentukan sisa pembagian dari :

1. (x⁴ – 4x²) dibagi (2x – 1)
2. (81x⁴ – 9x² + 2) dibagi (3x – 1)

Penyelesaian:

Sesuai teorema sisa, maka sisa pembagiannya adalah :

Sesuai teeorema sisa, maka sisa pembagiannya adalah :

Pembagian oleh (x – a) (x – b)

Karena pembagi berderajat dua, maka derajat hasil pembagiannya maksimal adalah satu. Misalkan sisa pembagiannya (px + q). Oleh karena itu, pembagiannya dapat dituliskan sebagai berikut :

f(x) = (x – a) (x – b)H(x) + (px + q)

Contoh Soal :

Tentukan sisa pembagian x⁴– 2x² + 2 oleh (x – 1) (x + 1)

Penyelesaian :

F(x) = x⁴ – 2x² + 2

→ f(1) = 1⁴ – 2(1)² + 2 = 1

F (-1) = (-1)⁴ – 2(-1)² + 2 = 1

Misal jika sisa pembagiannya adalah px + q dan bentuk pembagiannya adalah :

f(x) = (x – 1) (x + 1)H(x) + (px + q)

karena f(1) = 1, maka

f(1) = (1 – 1) (1 + 1)H(x) + (p(1) + q) = 1 → p + q = 1 … (i)

karena f(-1) = 1, maka

f(-1) = (-1 -1) (-1 +1)H(x) + (p(-1) + q) = 1 → -p + q = 1 …(ii)

eliminasi (i) dan (ii) menjadi

maka, sisa pembagiannya adalah :

px + q

→ 0.x + 1 = 1

Please follow and like us: